Question

已知实数X,Y满足1《X^2+Y^2《4,求u=X^2+XY+Y^2的最大值和最小值

用X^2+Y^2》2XY和X^2+Y^2》-2XY的方法快解

Answer 1

u=X^2+XY+Y^2 <= (3/2)( X^2+Y^2) <= 6 , 当x=y=±√2 时取得最大值 6
u=X^2+XY+Y^2 >= (1/2)( X^2+Y^2) >= 1/2, 当x=√2/2,y=-√2/2或 x=-√2/2,y=√2/2 时取得最小值1/2

Answer 2

-(x^2+y^2)/2=<xy<=(x^2+y^2)/2
u=x^2+y^2+xy<=x^2+y^2+(x^2+y^2)/2=3(x^2+y^2)/2<=6
x=y=√2 or -√2时取最大值6
u=x^2+y^2+xy>=(x^2+y^2)-(x^2+y^2)/2=(x^2+y^2)/2>=1/2
x=-y=1/√2时取最小值1/2

Answer 3

1≤X²+Y²≤4
u=X²+XY+Y²
X²+Y²≥2XY
X²+Y²≥-2XY