Question

求极限：lim(n→ ∝ )Xn, X1=a^1/2,X2=(a+X1)^1/2……Xn=(a+Xn-1)^1/2

这个题没思路，恳请各位大仙帮忙

Answer 1

LS两位是在猜答案..首先要证明极限的存在性
利用单调有界数列必收敛,
容易得x1<x2<x3<....xn所以数列单调减少
下面证明xn<a+1数学归纳法
x1=√a<a+1
设x(k-1)<a+1
则xk=√(a+x(k-1))<=[a+x(k-1)]/2<a+1/2<a+1成立
所以数列单调有界设其极限为b，对Xn=(a+Xn-1)^1/2两边取极限得
b=√(a+b)
=>b^2-b-a=0
所以b=[1+√(1+4a)]/2 另一个舍去

Answer 2

解：x1=a^1/2,X2=(a+X1)^1/2……Xn=(a+Xn-1)^1/2，所以当n→ ∝时xn²=a+Xn
有xn=（1+√1+4a）/2

Answer 3

我的方法可能比较麻烦 令Xn=b 则lim(n→ ∝ )时 Xn-1=b 然后就有b=（a+b ）)^1/2 解出两个根
然后用数学归纳法 看哪B个对 就ok了 就是比较麻烦 应该有比较简单的 你在想想想吧

Answer 4

Xn=(a+Xn-1)^1/2两边同时求极限即可
设u=limXn，
则
u=(a+u)^1/2
解方程即可