Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b∈R，且a>0),设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2。 高一数学

（1）如果x1<2<x2<4，且函数f(x)的对称轴x=x0，求证：x0>-1;
(2)如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围。

Answer 1

解：(1)因为方程f（x）=x的两个实数根为x1，x2，

所以ax^2+（b-1）x+1=0，

x1+x2=(1-b)/2a,x1*x2=1/a

令f(x)=ax^2+（b-1）x+1,其f(x)的对称轴为x=(1-b)/2a

由题意(x1<2<x2<4)，

f(4)=16a+4(b-1)+1>0 (i)

f(2)=4a+2(b-1)+1<0,即-4a-2(b-1)-1>0 (ii)(画函数图，一目了然)

(i)+4*(ii)=-4(b-1)-3>0,得，b<1/4

(i)+2*(ii)=8a-1>0,得，a>1/8,即2a>1/4,而b<1/4,所以2a>b

所以 x0+1=-b/2a+1=(2a-b)/2a>0 (a>0且2a>b)

所以x0+1>0

故x0＞-1 ，证毕！

(2)ax^2+(b-1)x+1=0

x={(1-b)±√[(b-1)^2-4a]}/(2a)

√[(b-1)^2-4a]≥0,b≥1+2√a,b≤1-2√a

|x1|<2,-2<x1<2

|x2-x1|=2,x2-x1=±2

讨论:

1、x2-x1=2,x2>x1

x1={(1-b)-√[(b-1)^2-4a]}/(2a)

x2={(1-b)+√[(b-1)^2-4a]}/(2a)

x2-x1=√[(b-1)^2-4a]}/a=2

-2<x1<2

-2<{(1-b)-√[(b-1)^2-4a]}/(2a)<2

-2<(1-b)/(2a)-√[(b-1)^2-4a]/(2a)<2

-2<(1-b)/(2a)-1<2

-1<(1-b)/(2a)<3

a>0

1+2a>b>1-6a

2、x2-x1=-2,x2<x1

x1={(1-b)+√[(b-1)^2-4a]}/(2a)

x2={(1-b)-√[(b-1)^2-4a]}/(2a)

x2-x1=-√[(b-1)^2-4a]}/a=-2,√[(b-1)^2-4a]/a=2

-2<x1<2

-2<{(1-b)+√[(b-1)^2-4a]}/(2a)<2

-2<(1-b)/(2a)+√[(b-1)^2-4a]/(2a)<2

-2<(1-b)/(2a)+1<2

-3<(1-b)/(2a)<1

a>0

1+6a>b>1-2a

b的取值范围为:1、x1>x2时，1+2a>b>1-6a,或2、x1〈x2时，1+6a>b>1-2a