Question

已知△ABC中。∠A=90°，M是BC的中点，E,F 分别在AB,AC上，且ME⊥MF,求证EF^2=BE^2+CF^2

Answer 1

延长FM至G使得FM=MG,链接BG,EG.因为FM=MG,BM=CM,所以GB平行CF,且有三角形CMF全等三角形BMG可得CF=BG,于是BG垂直AB.所以勾股定理EG^2=BE^2+BG^.另外ME是BG的中垂线,所以EG=EF.于是EF^2=EG^2=BE^2+BG^2=BE^2+CF^2

Answer 2

延长EM到D,使DM=EM 联接DC、FM
∵FM⊥DE
∴DF=EF
∵∠BME=∠CMD BM=CM
∴△BEM ≌△CDM
∴BE=CD ∠B=∠DCM
∵∠B+∠ACB=90°
∴∠DCM+∠ACB=90°
∴∠DCF=90°
∴FM²=CD²+CF²
∴EF²=BE²+CF²