Question

如图，在直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（3,4），（M，0），且AO＝AB。

（1）求M的值。（2）设P是边OB上的一个动点，过点P的直线L平分△AOB的周长，交△AOB的另一边于点Q，试判断由L及△AOB的两边围成的三角形的面积S是否存在最大（或最小）值，若存在，求出其值，说明此时所围成的三角形的形状，并求直线L的解析式，若不存在，说明理由

Answer 1

(1) OA=根号(3^2+4^2)=5
AB=根号[(M-3)^3+4^2]=5 =>M=6 或者0。
(2) B(6,0) 否则和原点重合，无三角形AOB。三角形AOB是等腰三角形。
设P点坐标(x,0)，显然当x>=3时，Q在OA上，由(OQ+x)=AQ+AB+(6-x)推出AQ=x-3。OQ=5-(x-3)=8-x。此时所围成的三角形的为OQP，其高=(8-x)*sin角AOB=(8-x)*(4/5)
面积=(8-x)*(4/5)*x/2=(16x-2x^2)/5=[32-2(4-x)^2]/5 3<=x<=6
当x=4时，面积有最大值32/5。此时OQ=8-x=4=x，是等腰三角形。Q点坐标(4*3/5,4*4/5)=(12/5,16/5) 直线L通过两点(12/5,16/5)和(4,0) 方程为y=-2(x-4)=-2x+8
当x=6时，面积有最小值24/5。Q(2*3/5,2*4/5) 方程为y=-x/3+2
因为三角形AOB是等腰三角形，当0<=x<=3时，面积最大和最小值结论是一样的。对应的x 为2和0。对应的方程可以通过类似的方法求得。最大值对应的L：y=2x-4。面积最小值对应的L：y=x/3。

Answer 2

解：（1）作AD⊥x轴于D，则交点D的坐标为（3，0），
∵AO=AB，
∴OB=2OD=6，即m=6，
答：m的值是6．

（2）解：在Rt△AOD中，AO=AD2+OD2=5，
设点P的坐标为（x，0），则PB=6-x，
①当点Q在AB上时，
PB+QB=12（AO+AB+OB）=8，即QB=x+2，
作QE⊥x轴，交点为E，
∵∠ABD=∠QBE，∠ADB=∠QEB，
∴Rt△ABD∽Rt△QBE，
∵QEAD=
QBAB，即QE=
45(x+2)，
∴S=12•PB•QE=
12(6-x)•
45(x+2)=-
25(x-2)2+
325，
当x=2时，S最大值=325，
此时PB=QB=4，即△QPB是等腰三角形QE=
45×4=
165，EB=
QB2-QE2=
42-(
165)2=
125，OE=OB-EB=
185，
∴点P、Q的坐标分别为（2，0），（185，
165）
设l的解析式为y=k1x+b1，
∴2k1+b1=0185k1+b1=
165​，
∴k1=2b1=-4​，
即l：y=2x-4；
②当Q在AO上时，
∵OA=AB，
∴点Q与①中的点Q关于直线AD对称，
由对称性可知，同法可求，当x=4时，S最大值=325
此时OP=OQ=4，△QOP是等腰三角形．
此时，点P、Q的坐标分别为（4，0）、(
125，
165)
设l的解析式为y=k2x+b2
∴4k2+b2=0125k2+b2=
165​，
∴k2=-2b2=8​，
即l：y=-2x+8，
答：由l及△AOB的两边围成的三角形的面积s存在最大值，其值是325，此时所围成的三角形的形状是等腰三角形，直线l的解析式是y=2x-4或y=-2x+8．