Question

求证：ln（n+1)>1／3+1／5+1／7+·······+1／(2n+1) (n∈N)

Answer 1

因为1/(2x+1)是凹函数，所以1/3+1/5+...1/(2n+1)<积分(0到n)dx/(2x+1)=ln(2n+1)/2
因为lnx是凸函数，所以[ln1+ln(2n+1)]/2<ln((1+2n+1)/2)=ln(n+1)

追问

可是高二似乎没学凹函数·凸函数，所以能用基本的证明方法来求证吗

追答

高二就要证明这个？

还有一个办法，用数学归纳法
首先验证ln2>1/3
然后假设ln(n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
只要证ln(n+2)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)+1/(2n+3)
因为1/3+1/5+...+1/(2n+1)+1/(2n+3)ln(n+1)+1/(2n+3)
只要证ln(1+1/(n+1))>1/(2n+3)
只要证1+1/(n+1)>e^[1/(2n+3)]
两边同时n+1次方，有e>e^0.5，成立