Question

正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF垂直BC于点F。连接DP、EF，求证DP⊥EF

用初中几何，和高中的向量分别怎么证明

Answer 1

初中几何：
延长DP交EF于H，连PB
易证△ABP ≌ △ADP
∴∠ABP = ∠ADP
易知四边形EBFP为矩形
∴EP∥AD，∠ABP = ∠BEF
∴∠HPE = ∠ADP
∴∠HPE + ∠HEP = ∠BEF + ∠HEP = 90°
∴∠EHP = 90°
即DP⊥EF

用向量
DP·EF = (DA + AE + EP)(EP + PF) = DA·EP + EP² + AE·PF
= EP(EP+DA) + AE·PF
= BF(BF+CB) + AE·EB
= BF·CF + AE·EB
= -|BF|·|CF| + |AE|·|EB|
显然 |BF| = |AE|，|CF| = |EB|
∴DP·EF = -|BF|·|CF| + |AE|·|EB| = 0
∴DP⊥EF

追问

∴∠HPE = ∠ADP
为什么啊、这步看不懂

追答

∵EP∥AD
同位角相等

Answer 2

= =. . . 你做题太少了把？ 这种题很多.. 建议多做点题..

Answer 3

我靠 太深奥了