Question

线性代数（同济5版），关于相似矩阵的定理3证明不太懂。若N阶矩阵A与B相似，则A与B的特征值多项式相同

从而A与B的特征值相同。证明：|B-λE|=|P^(-1)AP-λEP|=|P^(-1)* （A-λE）P| 。问题出来了，下一步是 |P^(-1)* | | A-λE| | P| 。①行列式可以这样直接把两边的矩阵提出来么？
然后|P^(-1)* | | A-λE| | P| 直接推出 =| A-λE| 了。②|P^(-1)* |和|P|居然直接就消去了，好像他们的行列式值都是1似的。这两点不明白，请问该怎么解释啊，书上的太简略了

Answer 1

1. 行列式的性质: |AB| = |A||B| 即乘积的行列式等于行列式的乘积 给你个证明:

不过你可能没学Laplace展开定理, 它是行列式按一行(列)展开定理的推广. 所以有 |P^(-1)（A-λE）P| = |P^(-1)* | | A-λE| | P| 2. |P^(-1) | | A-λE| | P| = |P^(-1) | | P| | A-λE| --数的乘法交换 = |P^(-1) P| | A-λE| --上述行列式的性质 = |E| | A-λE| = | A-λE|

Answer 2

不是证明简单，是你忘了矩阵行列式的性质。
性质1：|AB|＝|A|×|B|，A,B都是n阶方阵。
又A(A逆)＝E，所以有性质2：|A|×|A逆|＝1 或 |A逆|＝1/|A|

追问

那个行列式性质1，我在李永乐的书上看过，但没有证明啊。为什么N阶矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积呢，还是不太明白

追答

那是书上的定理，用的是行列式的乘积定理，证明过程不做要求

Answer 3

这位童鞋，行列式有个性质，det(AB)=det(A)det(B)，另外，逆矩阵的话det(P^(-1))det(P)=det(P^(-1)*P)=det(E)=1
书上都有的呀，加油吧，不要吊死在线性代“树”上了~~~

追问

P和P逆乘积是E，行列式自然是1，但P的行列式值不见得是1吧，P逆的行列式值也不见得是1，它们相乘一定为1吗