Question

L1、L2S是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在L1上，C在L2上，AM=MB=MN

若角ACB=60度，求NB与平面ABC所成角的余弦值

Answer 1

设:AM=MB=MN=a,连接CA,CM,CB,  NA, NB.  作NG垂直CM于G.

由已知,得:AB垂直MN,AB垂直于NC,故AB垂直于平面MNC,从而AB垂直于直线MC.从而MC为AB的垂直平分线,即知CA=CB,又因角ACB=60度,故知:三角形ABC为等边三角形,知AC=BC=AB=2a.

进而求得:CM=(根号3)a.

由于:AB垂直于平面MNC,故AB垂直于其上的直线NG,.又NG垂直于CM,故NG垂直于AB和CM决定的平面ABC.联结BG,则BG为NB在平面ABC上的投影.而角NBG即为NB与平面ABC所成角.

在三角形NAB中求得NB=(根号2)a.

在直角三角形CMN中,求得NC=(根号2) a.  MG=(1/根号3)a,  CG = (2/根号3)a .NG=根号(2/3)a.

在直角三角形NBG中:求得GB=[根号(4/3)]a.

从而:cos(角NBG)=GB/NB=根号(2/3).

即:cos(角NBG)=根号(2/3).

或:cos(角NBG)=(根号6)/3.