Question

已知定义域为r的函数f(x)为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x),当x属于[0,1]时,f(x)=2^x-1

求f(log（1/4）36）的值

Answer 1

log（1/4）64<log（1/4）36< log（1/4）16,
所以-3<log（1/4）36<-2,
2<-log（1/4）36<3,
则0<-log（1/4）36 -2<1。
f(log(1/4)36) = - f( -log(1/4)36 ) ---------( R内奇函数 )
= f(-log(1/4)36 - 2 ) --------( f(x+2)=-f(x) )
= 2^( -log(1/4)36 - 2 )-1 -----( f(x)=2^x-1 )
= 2^[( -log(1/4)36]/2^2-1
=2^[( log(1/2)1/6]/4-1
=2^[( log(2)6]/4-1
=6/4-1=1/2.

Answer 2

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数,
log（1/4）36=-log（4）36=-log（2）6
因为f(x)为奇函数，所以f-log（2）6=f( log（2）6）=f（1+log（2）3 ）
因为f(x)为奇函数，足f(x+2)=-f(x)=f(-x)，即f(x)关于x=1对称
所以f（1+log（2）3 ）=f（1-log（2）3 ）=f（log（2）3 -1）=
3÷2－1=0.5