Question

f(x)=(10^x)-(10^-x)/(10^x)+(10^-x)

一：判断奇偶性
二：证明f(x)单调递增
三：求f(x)的值域

Answer 1

因为f(-x)=[10^(-x)-10^x]/[10^(-x)+10^x]=-[10^x-10^(-x)]/[10^x+10^(-x)] =-f(x),
所以f(x)是奇函数
f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数
易知，函数f(x)=[10^x-10^(-x)]/[10^x+10^(-x)].的定义域为R.换元。可设t=10^x.x∈R,∴t＞0.故问题可化为求函数g(t)=[t-(1/t)]/[t+(1/t)]在(0,+∞)上的值域。∵g(t)=(t²-1)/(t²+1),∴g(t)-1=-2/(t²+1).∵t＞0.===>t²+1＞1.===>0＜1/(t²+1)＜1.===>0＜2/(t²+1)＜2.===>0＜1-g(t)＜2.===>-1＜g(t)＜1.∴原来函数f(x)的值域为(-1,1).

Answer 2

一：f（-x）= - f(x) ,说明是奇函数
二：令x2>x1,则f(x2)-f(x1)=(10^x2)-(10^-x2)/(10^x2)+(10^-x2) - (10^x1)-(10^-x1)/(10^x1)+(10^-x1)
通分后，分母[(10^x2)+(10^-x2)][(10^x1)+(10^-x1) ]>0，分子[(10^x2)-(10^-x2)][(10^x1)+(10^-x1) ] - [(10^x1)-(10^-x1) ][(10^x2)+(10^-x2)]=2[10^(x2-x1) - 10^(x1-x2)] , 因为x2>x1，则x2-x1>0,x1-x2<0,则10^(x2-x1)> 10^(x1-x2),则f(x2)>f(x1),即f(x)单调递增

三：令t=10^x >0，则f(x)=(t-1/t) / (t+1/t)=(t^2-1) / (t^1+1) = 1-2/(t^2+1),因为t>0,则t^2+1>1 , 0<1/(t^2+1)<1, -2<-2/(t^2+1<0, 则f(x)=1-2/(t^2+1)属于（-1,1），即为值域。