Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-√3sin^2 x+sinxcosx 求：方程f(x)=x/50π的根的个数

Answer 1

f(x)=2cosxsin(x+π/3)-√3sin^2 x+sinxcosx =2cosxsin(x+π/3)-2sinx(√3/2sinx+1/2cosx)
=2cosxsin(x+π/3)-2sinxsin(x+π/3) =2√2sin(x+π/3)[√2/2cosx-√2/2sinx]=2√2sin(x+π/3)cos(x+π/4)
=√2[sin(2x+7π/12)+sin(π/12)]；函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-√3sin^2 x+sinxcosx 是以[0,sin(π/12)]为对称中心，周期为kπ的正弦函数，将对称中心移到原点后方程f(x)=x/50π的根的个数既是所求根的个数；对称中心移到原点函数值域-√2≤f(x)≤√2，f(x)=x/50π是过原点的直线，kπ/50π≤√2，k≤70.71，每个周期3个交点，x正向交点(70.71*3)212个，f(x)=x/50π关于原点对称，则方程f(x)=x/50π的根的个数是212*2=424个。

追问

可是答案是399

追答

每个周期2个交点，函数最大值与最小值差为2√2，则f(x)=x/50π与函数的相交周期为：kπ/50π=2√2，k=100√2≈141，根的个数是141*2+1=283个

Answer 2

提示：化简代入即可