Question

一道微分方程求解

y``=3√y。
y的二阶导数等于3倍根号下y。如何解出此方程？
我用的是设p=y`。然后得对一个y的式子积分，然后就卡住了。。。
。。。其实我想说。y`和y``全是对x求导的。。

Answer 1

y''=3√y
y'=2√y*(√y)'
y''=(√y)'^2/√y+2√y(√y)''
(√y)'^2/(√y)^2+(√y)''=3
1/(√y)^2-(√y)''/(√y)'^2=3/(√y)'^2
设x'=dx/d(√y) =1/(√y)'
x''= -√y''/√y'^2
1/(√y)^2-x''=3x'^2
1=(√y)^2x''+3(√ydx/d√y)^2
√ydx/d√y=dx/d(ln√y)
dx/d(√y)=dx/d(ln√y)/√y
x''=[d(dx/dln√y)/d√y]/√y - (dx/dln√y)/*(√y)^2
1=√yd[dx/d(ln√y)]/d√y-dx/dln√y+(dx/dln√y)^2
=d^2x/d(ln√y)*2+dx/dln√y
dx/dln√y=p dp/dln√y=p'
1=p'-p+p^2
dp/dln√y=(1+p-p^2)
dp/(1+p-p^2)=dln√y
dp/[-(p-1/2)^2+5/4]=dln√y
(2/√5)arcsin(2/√5p-1/√5)=ln√y+C0
p=(√5/2) sin[√5/2(ln√y+C0)]+1/2
dx/dln√y=(√5/2)sin(√5/2(ln√y+c0)+1/2
设u=(√5/2(ln√y+c0)
dx/du=sinu+1/√5
x=-cosu+u/√5+C
x=-cos[(√5/2)(ln√y+c0)]+(1/2)(ln√y+c0)+C

Answer 2

y‘’=3√y
y‘=2y^(3/2)+C
y=2 *2/5y^(5/2)+Cy+R
y=4/5√(y^5)+Cy+R；(C,R是任意实数)

追问

。。。其实我想说。y`和y``全是对x求导的。。

追答

不好意思 我看错题目了
如果是y‘’=3√y
积分我就不会了，又不是其次，又不是线性 难啊

Answer 3

不对吧 函数是y(x) 变量是x

追问

是啊。。。这题咋做。

追答

你==我正在算 不过对于上面的回答 我可以告诉你肯定不对

追问

可以说下大概思路吗？也是设P=y` ?

追答

日 刚才写了 死机了 又得重新写
令y'=t
y''=t*dt/dy
带入原式得
t*dt=3√ydy
积分得2y^(1/4)=x+c

追问

t*dt=3√ydy
和
积分得2y^(1/4)=x+c

这两步之间的步骤别省掉了啊~~~我就是算到t*dt=3√ydy这一步，然后卡住了。。。
积分后就是0。5*p^2=2*y^1。5+C.
再往后，把p用dy/dx来替换，那么对y的积分就积不出来了啊~

追答

我机器 不好 上QQ聊吧 老断线 我QQ是ID号

Answer 4