Question

假设X,Y为实数，4X平方+Y平方+XY=1，求2X+Y的最大值

设X,Y为实数,若4X²+Y²+XY=1,则2X+Y的最大值是多少？

Answer 1

用图示法。可以理解为(x,y)为满足4X²+Y²+XY=1的点的集合为一曲线。2x+y=k代表斜率为-2的直线族。显然，当直线与曲线相切于最右边时，k最大。
设Y=k-2X，代入曲线方程
4X²+(k-2X)²+X(k-2X)=1
=>6X²-3kx+k²-1=0
当k最大时，此方程只有一个解。
=>9k²-4*6*(k²-1)=0
=>k²=24/15=8/5
=>最大值k=根号(8/5)

Answer 2

设：z=2x+y变为：y=-2x+z.利用线性归化的思想，Z的最大值在y=-2x+z与4x^2+y^2+xy=1相切时取到。所以将y=-2x+z代入4x^2+y^2+xy=1消去y,整理成关于x的二次方程，由Δ=-15z^2+24=0，求的z^2=24/15.再求出z.

Answer 3

解析：
因为4x²+y²+xy=1
所以1-xy=4x²+y²
又4x²+y²≥4xy
所以1-xy≥4xy
所以xy≤1/5
所以(2x+y)²
=4x²+y²+4xy
=1+3xy≤8/5
所以2x+y的最大值为4/√10

Answer 4

解析：
因为4x²+y²+xy=1
所以1-xy=4x²+y²
又4x²+y²≥4xy
所以1-xy≥4xy
所以xy≤1/5
所以(2x+y)²
=4x²+y²+4xy
=1+3xy≤8/5
所以2x+y的最大值为4/√10

追问

设X,Y为实数,若4X²+Y²+XY=1,则2X+Y的最小值是多少？

Answer 5

楼主珠海实验的？