Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，过点B作BF垂直于CE交AC于点F，交CE于点M。

如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，过点B作BF垂直于CE交AC于点F，交CE于点M。1.若正方形的连长为4，求BM的长。2.求证：CF=2FA

Answer 1

（1）
EB=2，BC=4，由勾股定理算得EC=2根号5
BM×EC/2=S三角形BCE=EB×BC/2=4
BM=4×2/2根号5
=(4根号5)/5

（2）
证明：延长BF交AD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+BCE=90°，
∴∠ABG=∠BCE，
∴△ABG≌△BCE，
∴AG=BE，
∵BE=1/2AB，
∴AG=1/2AB=1/2BC，
∴AM：BC=1：2，
∵AD∥BC，
∴FA：CF=AG：BC=1：2，
∴CF=2FA．

Answer 2

三角形BME∽三角形BMC，BM／BC=BE／EC EC=2√5
BM=4√5／5