Question

试求出所有这样的正整数a,使得二次方程ax2+2(2a—1)x+4(a—3)=0至少有一个整数根.

请写明一下过程，谢谢！

Answer 1

所有正整数a的值是：1、3、6、10；

解：因为a是正整数，所以原方程是关于x的一元二次方程。要使方程有实根，首先它的判别式必须为非负数，即△≥0，
而△=[2(2a-1)]^2-4a*4(a-3)
=4(4a^2-4a+1)-16a^2+48a
=32a+4
显然，判别式是大于0。
原方程整理成：
a(x^2+4x+4)=12+2x，当x=-2时，等式两边不相等，故x≠-2，即x^2+4x+4≠0，于是有
a=(12+2x)/(x^2+4x+4)--------------------------------①
因为x^2+4x+4=(x+2)^2>0，a为正整数，所以12+2x>0，且
12+2x≥x^2+4x+4
解得：-4≤x≤2；其中x≠-2。
x的可能值是：-4，-3，-1，0，1，2；
代入①式，相应得：1，6，10，3，14/9，1；
a取1，3，6，10，其余舍去。