Question

已知数列an的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn=((an+1)/2)^2

1.求an与an-1（n≥2）之间的关系式
2.求证1/S1+1/S2+.....1/Sn小于2

Answer 1

1.An=Sn-S(n-1)=[(An+1)^2]/4-[(A(n-1)+1)^2]/4=[An^2+2*An-A(n-1)^2-2*A(n-1)]/4;
所以2(An+A(n-1))=An^2-A(n-1)^2=(An+A(n-1))*(An-A(n-1))
An均为正数，所以An+A(n-1)>0,上面的等式左右两边同时除以An+A(n-1)，即有An-A(n-1)=2.
2.由A1=S1=[(A1+1)^2]/4可知，A1=1，由结论1知，数列An为等差数列，公差为2，而且An=2（n-1）+A1=2n-1;Sn=n*(A1+An)/2=n^2;所以1/S1+...+1/Sn=1+1/4+1/9+...1/n^2<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)=2-1/n<2

Answer 2

答案见如图，本题考的是数列的判断和基本运算，第二小问考的是不等式和数列的结合，用到小技巧。