Question

一道三重积分高数题

∫∫∫(1+x+y+z)ˆ-3 dxdydz ,Ω 为平面 x=0， y=0， z=0， x+y+z=1 所围成的四面体

Answer 1

(1+x+y+z)ˆ-(3) 的原函数是（-1/2）(1+x+y+z)ˆ(-2)

I=(1/2) (ln2-5/8)

Answer 2

化为
∫_0^1dx∫_1^{1-x}dy∫_0^{1-x-y}(1+x+y+z^{-3})dz
这个累次积分就很简单了

Answer 3

=∫（0,1）dx∫（0,1-x）dy∫（0,1-x-y）（1+x+y+z)ˆ-3）dz
=-1/2(3/8-ln2)

Answer 4

我来试试吧...

解：先一后二法
∫∫∫(1+x+y+z)ˆ(-3) dxdydz
=∫∫（x≥0 y≥0 x+y≤1）dxdy ∫(下0 上1-x-y）[1+x+y+z]^(-3) dz
=∫∫（x≥0 y≥0 x+y≤1）dxdy ∫(下0 上1-x-y）[1+x+y+z]^(-3) d(z+x+y+1)
=∫∫（x≥0 y≥0 x+y≤1） -1/8+1/2[1+x+y]^(-2) dxdy
=∫(下0 上1)dx ∫(下0 上1-x) -1/8+1/2[1+x+y]^(-2) dy
=∫(下0 上1)dx∫(下0 上1-x) -1/8dy +∫(下0 上1)dx∫(下0 上1-x)1/2[1+x+y]^(-2)dy
=-1/16+ ∫(下0 上1) -1/4+1/[2(1+x)] dx
=-1/16-1/4+1/2ln2
=-5/16+1/2ln2

Answer 5

你那个三重积分号怎么打的，是3还 是 -3次幂？