Question

高一复合函数单调性证明问题 要详细回答

g(x)是[m,n]上的减函数，且a≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证 :f(g(x))在上[m,n]也是减函数

Answer 1

思路：证明一个函数F(x)是减函数，就是要证明当x1>x2时，F(x1)与F(x2)的关系是否为F(x1)<F(x2)
证明：设m≤x1<x2≤n
由 g(x)是[m,n]上的减函数 => g(x1)>g(x2)
由已知 a≤g(x)≤b => a≤g(x1)≤b,a≤g(x2)≤b
设 y1=g(x1),y2=g(x2)，则 a≤y1≤b，a≤y2≤b，且y1>y2
由已知 f(x)是[a,b]上的增函数，及 a≤y2<y1≤b => f(y1)>f(y2)
即，f(g(x1))>f(g(x2))

所以根据上面推理，
当m≤x1<x2≤n时，有f(g(x1))>f(g(x2))
由减函数的定义知 f(g(x))在上[m,n]也是减函数

追问

我有一个疑问，，，因为;g(x2)<g(x1) 所以 f(g(x2))<f(g(x1))。所以f(g(x))在上[m,n]是增函数为什么不对，请说明下

追答

思路：证明一个函数F(x)是减函数，就是要证明当x1>x2时，F(x1)与F(x2)的关系是否为F(x1)f(g(x2))与f(g(x1))的关系”才能说明是增还是减 函数

Answer 2

设m≤x1<x2≤n，因为g(x)是[m,n]上的减函数，所以a≤g(x2)<g(x1)≤b.
又因为f(x)是[a,b]上的增函数，所以f(g(x2))<f(g(x1))。
再由m≤x1<x2≤n知，f(g(x))在上[m,n]是减函数。

追问

我有一个疑问，，，因为;g(x2)<g(x1) 所以 f(g(x2))<f(g(x1))。所以f(g(x))在上[m,n]是增函数为什么不对，请说明下

追答

这里复合函数f(g(x))相当于一个新的函数h(x)，即h(x)=f(g(x))
那么， f(g(x2))<f(g(x1)) 相当于 h(x2)<h(x1),
而由m≤x1<x2≤n的假设，h是减函数，也就是说复合函数f(g(x))是减函数。
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你写的东西，错在没有把复合函数f(g(x))看做一个整体，一个全新的函数。
由g(x2)<g(x1)得 f(g(x2))<f(g(x1))，只能说明f是增函数。

Answer 3

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