Question

求函数f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)在x=0处的导数值,谁能解释下这个答案

f(x)=x^101+(a1)x^100+(a2)x^99+……+(a99)x^2+(a100)x
所以f(x)在x=0处的导数值为a100
也就是f(x)中x的系数
而f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)
所以此系数为(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100的阶乘
也即所求为 100！

Answer 1

f(x)=x^101+(a1)x^100+(a2)x^99+……+(a99)x^2+(a100)x
所以f(x)在x=0处的导数值为a100
也就是f(x)中x的系数
而f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)
所以此系数为(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100的阶乘
也即所求为
100！

Answer 2

1）展开以后是101次多项式：f(x)=x^101+(a1)x^100+(a2)x^99+……+(a99)x^2+(a100)x
2）求导后为100次多项式，当X=0时，只剩下常数项，所以f'(0)=a100
而f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100),根据韦达定理，有：
所以此系数为a100=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100的阶乘
也即所求为 100！

Answer 3

f(x)=x^101+(a1)x^100+(a2)x^99+……+(a99)x^2+(a100)x …………………………这懂吧
所以f(x)在x=0处的导数值为a100 …(x^a)'=ax^(a-1) f'(x)=101x^100+(b1)x^99+(b2)x^98+…+(b99) x+a100

也就是f(x)中x的系数 …………………………f'（0）=a100
而f(x)=x(x-1)(x-2)……(x-100)……a100=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100的阶乘
所以此系数为(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100的阶乘
也即所求为 100！

Answer 4

解:
构造函数g(x)=(x-1)(x-2)(x-3),,,(x-100)
则函数f(x)=xg(x).
求导,f'(x)=g(x)+xg'(x).
∴f'(0)=g(0)
=100!.
即f'(0)=100!

Answer 5

就是把x(x-1)(x-2)……(x-100)乘出来
是一个101次式
可以写成f(x)=x^101+(a1)x^100+(a2)x^99+……+(a99)x^2+(a100)x
求导后是一个100次的
其中前面每项都有x，所以x=0时为0
所以就是a100
所以a100=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×……×(-99)×(-100)=100！