Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2(a>b且a≠0)的图像在点（2，f（2））处的切线与x轴平行。

（1）试确定a，b的符号
（2）若函数y=f（x）在区间【b，a】上有最大值a^2-ab，试a求的值。

Answer 1

1）f'(x)=3ax^2+2bx
f'(2)=12a+4b=4(3a+b)=0---> 3a+b=0---> b=-3a
因此a,b符号相反。由于a>b,因此a为正数, b为负数
2）f'(x)=0---> x1=0 or x2=-2b/(3a)=2
f(0)=0, f(2)=0
f(a)=a^4+a^2b=a^4-3a^3=a^3(a-3)
f(b)=ab^3+b^3=-27a^4-27a^3=-27a^3(a+1)<0
因为a>0, a^2-ab=a^2+3a^2=4a^2>0
因此最大值为f(a)=a^3(a-3)=4a^2---> a(a-3)=4-->(a-4)(a+1)=0---> a=4