Question

非齐次线性方程组AX=B解的形式与矩阵A的秩的关系？

我需要了解的是方程组解的形式，如k1x1+k2x2+...+knxn+y，x1,x2...xn是基础解系，y是特解，我不能确定n的具体数值~

Answer 1

非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A，b)(否则为无解)。非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。(rank(A)表示A的秩)

特别的，求解需要注意：克拉默法则  用克拉默法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克拉默法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系。

但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量非常大，所以，基本上克拉默法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

Answer 2

设A为m*n的矩阵 A的秩是r 增广矩阵(A,B)的秩是r'
那么 当且仅当 r=r'时 方程有解 r<r'时 方程无解
在有解的情况下 若r=n 则方程有唯一解 若r<n则方程有无数解

追问

我问的是解的形式~

Answer 3

基础解系所含解向量的个数是: 未知量的个数 - A的秩

未知量的个数 = A的列数