已知函数f(x)=ax-ln(-x),x属于[-e,0)。其中e是自然对数的底数,a属于R
已知函数f(x)=ax-ln(-x),x属于[-e,0)。其中e是自然对数的底数,a属于R(1)当a=-1时,确定f(x)的单调性和极值(2)当a=-1时,证明:f(x)...
已知函数f(x)=ax-ln(-x),x属于[-e,0)。其中e是自然对数的底数,a属于R
(1)当a=-1时,确定f(x)的单调性和极值
(2)当a=-1时,证明:f(x)+ln(-x)/x>0.5
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3。如果存在,求出a值。如果不存在,请说明理由 展开
(1)当a=-1时,确定f(x)的单调性和极值
(2)当a=-1时,证明:f(x)+ln(-x)/x>0.5
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3。如果存在,求出a值。如果不存在,请说明理由 展开
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已知函数f(x)=a*x-ln(-x),x∈[-e, 0)。其中e是自然对数的底数,a∈R。
(1)当a=-1时,确定f(x)的单调性和极值;
(2)当a=-1时,证明:f(x)+ln(-x)/x>0.5;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3。如果存在,求出a值。如果不存在,请说明理由。
解:
因为f'(x)=a-1/x,f''(x)=1/x^2>0,
(1)a=-1时,f'(x)=-1-1/x,令f'(x)=0得,x=-1,因为f''>0,所以f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=1。
在[-e, -1]上f'(x)<0,f(x)递减;
在[-1, 0)内f'(x)>0,f(x)递增。
(2)a=-1时,设g(x)=f(x)+ln(-x)/x,则g(x)=-x-ln(-x)+ln(-x)/x,
令u=-x,h(u)=u-ln(u)-ln(u)/u,则u∈(0, e],g(x)=h(u),只需证h(u)>1/2。
h'(u)=1-1/u+(ln(u)-1)/u^2,
(a)、当u∈(0, 1],ln(u)-1<0,1-1/u<0,h'(u)<0,h(u)递减, h(u)≥h(1)=1>1/2,不等式成立。
(b)、当u∈(1, 2),易证ln(u)<u-1(因为t>-1时,ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+O(t^3)<t),h(u)=u-ln(u)-ln(u)/u>u-(u-1)-(u-1)/u=1/u>1/2,(u∈(1, 2)),不等式成立。
(c)、当u∈[2, e),ln(u)-1>0,1-1/u>0,h'(u)>0,h(u)递增, h(u)≥h(2)=2-3/2*ln2>2-3/2*ln e=1/2,不等式成立。
(3) 因为f'(x)=a-1/x,f''(x)=1/x^2>0,
令f'(x)=0得,x=1/a,
若1/a∈[-e,0),即a<-1/e,f(x)在驻点处取得最小值,令f(1/a)=3得,1-ln(-1/a)=3,a=-e^2<-1/e,
此时x=-1/e^2∈[-e,0),符合题意;
若1/a<-e,即-1/e<a<0,f'(x)>0,f(x)在[-e,0)上递增,则f(x)在x=-e处取得最小值,令f(-e)=3得,a=-4/e<-1/e,不符合要求;
若1/a>0,即a>0,f'(x)<0,f(x)在[-e,0)上递减,则f(x)在在[-e,0)上无最小值,不符合要求。
故满足题意的a存在,a=-e^2即为所求。
(1)当a=-1时,确定f(x)的单调性和极值;
(2)当a=-1时,证明:f(x)+ln(-x)/x>0.5;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3。如果存在,求出a值。如果不存在,请说明理由。
解:
因为f'(x)=a-1/x,f''(x)=1/x^2>0,
(1)a=-1时,f'(x)=-1-1/x,令f'(x)=0得,x=-1,因为f''>0,所以f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=1。
在[-e, -1]上f'(x)<0,f(x)递减;
在[-1, 0)内f'(x)>0,f(x)递增。
(2)a=-1时,设g(x)=f(x)+ln(-x)/x,则g(x)=-x-ln(-x)+ln(-x)/x,
令u=-x,h(u)=u-ln(u)-ln(u)/u,则u∈(0, e],g(x)=h(u),只需证h(u)>1/2。
h'(u)=1-1/u+(ln(u)-1)/u^2,
(a)、当u∈(0, 1],ln(u)-1<0,1-1/u<0,h'(u)<0,h(u)递减, h(u)≥h(1)=1>1/2,不等式成立。
(b)、当u∈(1, 2),易证ln(u)<u-1(因为t>-1时,ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+O(t^3)<t),h(u)=u-ln(u)-ln(u)/u>u-(u-1)-(u-1)/u=1/u>1/2,(u∈(1, 2)),不等式成立。
(c)、当u∈[2, e),ln(u)-1>0,1-1/u>0,h'(u)>0,h(u)递增, h(u)≥h(2)=2-3/2*ln2>2-3/2*ln e=1/2,不等式成立。
(3) 因为f'(x)=a-1/x,f''(x)=1/x^2>0,
令f'(x)=0得,x=1/a,
若1/a∈[-e,0),即a<-1/e,f(x)在驻点处取得最小值,令f(1/a)=3得,1-ln(-1/a)=3,a=-e^2<-1/e,
此时x=-1/e^2∈[-e,0),符合题意;
若1/a<-e,即-1/e<a<0,f'(x)>0,f(x)在[-e,0)上递增,则f(x)在x=-e处取得最小值,令f(-e)=3得,a=-4/e<-1/e,不符合要求;
若1/a>0,即a>0,f'(x)<0,f(x)在[-e,0)上递减,则f(x)在在[-e,0)上无最小值,不符合要求。
故满足题意的a存在,a=-e^2即为所求。
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