Question

已知函数f(x)=ax-ln(-x)，x属于[-e，0)。其中e是自然对数的底数，a属于R

已知函数f(x)=ax-ln(-x)，x属于[-e，0)。其中e是自然对数的底数，a属于R
(1)当a=-1时，确定f(x)的单调性和极值
(2)当a=-1时，证明：f(x)+ln(-x)/x>0.5
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3。如果存在，求出a值。如果不存在，请说明理由

Answer 1

已知函数f(x)=a*x-ln(-x)，x∈[-e, 0)。其中e是自然对数的底数，a∈R。
(1)当a=-1时，确定f(x)的单调性和极值；
(2)当a=-1时，证明：f(x)+ln(-x)/x>0.5；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3。如果存在，求出a值。如果不存在，请说明理由。

解：
因为f'(x)=a-1/x，f''(x)=1/x^2>0，

（1）a=-1时，f'(x)=-1-1/x，令f'(x)=0得，x=-1，因为f''>0，所以f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=1。
在[-e, -1]上f'(x)<0，f(x)递减；
在[-1, 0)内f'(x)>0，f(x)递增。

（2）a=-1时，设g(x)=f(x)+ln(-x)/x，则g(x)=-x-ln(-x)+ln(-x)/x，
令u=-x，h(u)=u-ln(u)-ln(u)/u，则u∈(0, e]，g(x)=h(u)，只需证h(u)>1/2。
h'(u)=1-1/u+(ln(u)-1)/u^2，
（a）、当u∈(0, 1]，ln(u)-1<0，1-1/u<0，h'(u)<0，h(u)递减， h(u)≥h(1)=1>1/2，不等式成立。
（b）、当u∈(1, 2)，易证ln(u)<u-1（因为t>-1时，ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+O(t^3)<t），h(u)=u-ln(u)-ln(u)/u>u-(u-1)-(u-1)/u=1/u>1/2，（u∈(1, 2)），不等式成立。
（c）、当u∈[2, e)，ln(u)-1>0，1-1/u>0，h'(u)>0，h(u)递增， h(u)≥h(2)=2-3/2*ln2>2-3/2*ln e=1/2，不等式成立。

（3） 因为f'(x)=a-1/x，f''(x)=1/x^2>0，
令f'(x)=0得，x=1/a，
若1/a∈[-e，0)，即a<-1/e，f(x)在驻点处取得最小值，令f(1/a)=3得，1-ln(-1/a)=3，a=-e^2<-1/e，
此时x=-1/e^2∈[-e，0)，符合题意；
若1/a<-e，即-1/e<a<0，f'(x)>0，f(x)在[-e，0)上递增，则f(x)在x=-e处取得最小值，令f(-e)=3得，a=-4/e<-1/e，不符合要求；
若1/a>0，即a>0，f'(x)<0，f(x)在[-e，0)上递减，则f(x)在在[-e，0)上无最小值，不符合要求。
故满足题意的a存在，a=-e^2即为所求。