Question

（已知数列{an}满足a1=1.a2=2,（a(n+1)+an）/an=（a(n+2)-an+1）/an+1

(1)若bn=a(n+1)/an,求证：数列{bn}为等差数列
(2)数列{an/a(n+2)}的前n项和为Sn，若对n属于正整数，恒有a^2-a>Sn+1/2,求a的取值范围

Answer 1

(1) 解：因为 {a(n+1)+an}/an={a(n+2)-a(n+1)}/a(n+1)
所以有 a(n+1)^2+an*a(n+1)=an*a(n+2)-an*a(n+1) (等号两边同时除以an*a（n+1））
有 a(n+1)/an+1=a(n+2)/a(n+1)-1
移项 a(n+2)/a(n+1)-a(n+1)/an=2
即 b(n+1)-bn=2
又 a1=1,a2=2
所以 b1=a2/a1=2
故{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。其通项公式为：bn=2n.
(2)a(n+1)=2nan
an/a(n+2)=an/2(n+1)a(n+1)=1/4n(n+1)=(1/n-1/n+1)/4
Sn=(1/1-1/2+1/2-/3+……+1/n-1/n+1)/4=(1-1/n+1)/4
sn<1/4
Sn+1/2<3/4
a应该满足a^2-a≥3/4
得到a≤-1/2或者a≥3/2

Answer 2

通过观察已知式，可变形为a(n+1)/an + 1=a(n+2)/a(n+1) -1 ,然后移项a(n+2)/a(n+1) - (n+1)/an=-2，即b（n+1）-bn=-2

Answer 3

(1) 解：因为 {a(n+1)+an}/an={a(n+2)-a(n+1)}/a(n+1)
所以有 a(n+1)^2+an*a(n+1)=an*a(n+2)-an*a(n+1) (等号两边同时除以an*a（n+1））
有 a(n+1)/an+1=a(n+2)/a(n+1)-1
移项 a(n+2)/a(n+1)-a(n+1)/an=2
即 b(n+1)-bn=2
又 a1=1,a2=2
所以 b1=a2/a1=2
故{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。其通项公式为：bn=2n.
第二题还没想出来，抱歉。就第一题。