Question

方程2ax²-x-1=0在-1≤x≤1上有且只有一个实根，则a的取值范围？

答案是0≤a＜1，为什么a不能小于0呢

Answer 1

令f(x)=2ax²-x-1,则f(-1)=2a,f(1)=2a-2,如果a<0,那么f(-1)<0,f(1)<-2<0,且f'(x)=4a-1<-1<0，单调递减，故在-1≤x≤1上将无实根，所以，a不能小于0。

追问

那答案为什么是0≤a＜1(*^__^*)

追答

因为f(-1)=2a>f(1)=2a-2，所以取f(-1)=2a>=0,f(1)=2a-2<0,得出0≤a＜1.

Answer 2

1.a=0时，-x-1=0在-1≤x≤1上有且只有一个实根
2.a≠0时
1.当Δ=0时，则a=-1/8； 所以方程有唯一实根x=-2∉[-1,1]
∴Δ>0,则a>-1/8
设方程有二实根x1∈(1,﹢∞)∪(﹣∞,-1),x2∈[-1,1]
由韦达定理知：x1+x2=1/2a；x1*x2=-1/2a==>|x1-x2|=(√1+8a)/2a
且(|x2|-1)(|x1|-1)≤0 ==>|x1*x2|-|x1|-|x2|+1≤0
∴1.若a>0,则：x1∈(1,﹢∞)
1/2a－x1±x2＋1≤0==> 1/2a－x1＋x2＋1≤0
==>1/2a-(√1+8a)/2a+1≤0==>a∈(0,1]，经检验a=1不合题意，舍去
2.若a<0,则：x1∈(﹣∞,-1)
-1/2a＋x1±x2＋1≤0==> 1/2a＋x1－x2＋1≤0
==>﹣1/2a－(√1+8a)/2a+1≤0==>a∈[0,3]舍去
∴0≤a＜1