Question

若关于x的方程(如图)有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是

Answer 1

画出x^2+y^2=4(y>=0)和y=kx-2k+3的图像
当两者相切时，由|-2k+3|/√（k^2+1）=2得
k=5/12
此直线绕固定点（2,3）旋转，一直会有两个不同的交点，直到：
点（-2,0），再旋转只剩一个交点
过点（-2,0）、（2,3）的直线斜率为3/4
故k的取值范围为(5/12,3/4]

追问

如何计算出点（-2,0）为临界点

追答

因为半圆与X轴的二个交点分别是(-2,0)和(2,0),当过(2,3)和(-2,0)的直线时才有二个交点.

Answer 2

√(4-x²)-kx+2k=0
显然方程恒有一根x=2
另一根为k²(x-2)=-2-x的解
x=2(k²-1)/(k²+1)
则方程有两不等根
k[2(k²-1)/(k²+1)-2]≥0
=>-4k/(k²+1)≥0
则k≤0

Answer 3

分别作函数y=√(4-x²）和y=k(x-2)+3的图像，第一个是半圆，第二个是过（2,3）且斜率为k的直线，两个图像应有两个不同的交点。通过数形结合可得(5/12)<k≤（3/4)