Question

已知数列｛an｝前n项和为Sn，对于n属于自然数，总有Sn=(a1+an)n/2，求证｛an｝为等差数列。

要详细解答！谢谢哥哥姐姐们了~

Answer 1

证明：由题意知，知道Sn，必定用an=Sn- Sn-1 n>1
a1=S1
代入Sn知，a1=S1恒成立
an=Sn- Sn-1 n>1时，有an=(a1+an)n/2-(a1+an-1)（n-1）/2
不妨再写一项：an+1=(a1+an+1)（n+1）/2-(a1+an)n/2
化简两式，上式减下式得到（n-1）（an+1+an-1-2an）=0
因为 n>1，所以an+1+an-1-2an=0
移项得到an+1+an-1=2an （n>1）
所以｛an｝为等差数列。

Answer 2

an=Sn-Sn-1
=(na1+nan-na1+a1-nan+an)/2
=(a1+an)/2
得an=a1
即an-1=a1
an-an-1=0
所以此数列是公差为0的等差数列