Question

已知集合A=[m,n](m小于n,m,n,n属于R),B={y|y=-1\2x2+2x,x属于A},若A=B,求

已知集合A=[m,n](m小于n,m,n,n属于R),B={y|y=-1\2x2+2x,x属于A},若A=B,求m，n的值

Answer 1

已知集合A=[m, n]（m<n，m、n∈R），B={y|y=-1/2*x^2+2*x, x∈A}，若A=B，求m、n的值。

解： 设y=-1/2*x^2+2*x（如果没有理解错的话），原题即是要求y的定义域与值域都是[m, n]。
y=-1/2*(x-2)^2+8，
分3类情况讨论：
（1）定义域在对称轴左边，m<n≤2，函数在定义域上递增，
令y(m)=m, y(n)=n，即m、n是方程y=x的两根，
由y=x得，-1/2*x^2+2*x=x，1/2*x^2=*x，所以x=0或x=2，所以m=0，n=2。

（2）定义域在对称轴右边，2≤m<n，函数在定义域上递减，
令y(m)=n, y(n)=m，即
-1/2*m^2+2*m=n， …………①
-1/2*n^2+2*n=m， …………②

①-②得：(n^2-m^2)/2+2(m-n)=(n-m)，
所以，(m+n)*(n-m)/2=3(n-m)，
因为m<n，故n-m≠0，所以(m+n)/2=3，
(m+n)=6， …………③
①+②得：-(n^2+m^2)/2+2(m+n)=(n+m)，
(m+n)=(n^2+m^2)/2，
把③式代入，6=(n^2+m^2)/2，
但是(n^2+m^2)/2≥((m+n)/2)^2=9，（平方平均不小于算术平均）
主与(n^2+m^2)/2=6矛盾。
故这种情况不可能发生。

（3）对称轴在定义域内，m<2<n，函数最大值为y(2)=n，
即n=2，矛盾。

综上所述，m=0，n=2。

Answer 2

A=B实际上是求x=-1\2x2+2x，解得x=0或，x=2
所以m=0，n=2