Question

如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD与K,交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK

Answer 1

证明：过点K作MK∥BC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，

∴∠DKA=∠CEA，

又∵∠DKA=∠CKE，

∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，

∴CK=BF

而MK∥BC，

∴∠B=∠AMK，

∴∠BAC+∠B=∠DCA+∠BCA=90°，

∴∠AMK=∠DCA，

在△AMK和△ACK中，

∴∠AMK=∠DCA，AK=AK，∴∠BAE=∠CAE，

∴△AMK≌△ACK，

∴CK=MK，

∴MK=BF，MK∥BF，

四边形BFKM是平行四边形，

∴FK∥AB．

Answer 2

解：CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角对等边）．
（2）如图，过E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴EH=CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF=∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG=∠EHB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB．
∴CG=EB．
∴CE=GB．
∴CE=CF=GB．

Answer 3

∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴AD/AC=AC/AB
∵AE平分∠BAC
∴AD/AC=DK/CK，CE/BE=AC/AB
∴DK/CK=CE/BE
∵BF=CE，CF=CE+EF，BE=BF+EF
∴DK/CK=BF/BE，CF=BE
∴DK/CK=BF/CF
∴FK//AB