Question

数学函数~~~~~~~

22．（本题满分12分）已知 f（x）=loga x ，g（x）=2loga（2x+t-2）.（a＞0，a≠1，t∈R）
（1）当t=4，x∈【1,2】 ，且 F(x)=g（x）-f（x）有最小值2时，求 a的值；
（2）当 0＜a＜1时，x∈【1,2】，有f（x）≥g（x） 恒成立，求实数t 的取值范围.

求详解 谢谢了~~~

Answer 1

分析大闷：
（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
解：（1）当t=4时，
F（x）=g（x）-f（x）=loga(2x+2)^2/x ，x∈[1，2]，
令h（x）=(2x+2)^2/x =4 (x+1/x+2)，x∈[1，2]，
设u=x+ 1/x，x∈[1，2]作出u（x）的图象可知
u（x）=x+1/x 在[1，2]上为单调增函数．
∴h（x）在[1，2]上是单调增函数，
∴h（x）min=16，h（x）max=18．
当0＜a＜1时，有F（x）min=loga18，
令loga18=2，求得a=3 √2＞1（舍去）；
当a＞1时，有F（x）min=loga16，
令loga16=2，求得a=4＞1．∴a=4．
（2）当汪仿桥0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥困猛g（x）恒成立，
即当0＜a＜1，x∈[1，2]时，
logax≥2loga（2x+t-2）恒成立，
由logax≥2loga（2x+t-2）可得
loga √x≥loga（2x+t-2），
∴ √x≤2x+t-2，∴t≥-2x+√x +2．
设u（x）=-2x+ √x+2=-2（ √x）^2+ √x+2=-2(√x-0.25) ^2+17/8 ，
∵x∈[1，2]，∴ ∈[1，√2 ]．
∴u（x）max=u（1）=1．
∴实数t的取值范围为t≥1．