Question

高中 二次函数

设二次函数f(x)对一切实数x 有f(x)≤f(1/2)=25 其图像与x轴有两个交点 且这两点横坐标的立方和为19 则f（x)解析式为？

Answer 1

我来试试吧
解： 由题，y=f(x)图像对称轴x=1/2
设两个交点A(x1.0) B(x2,0)
x1 + x2=2*1/2=1
又x1³+x2³=19=(x1+x2)[(x1+x2)²-3x1x2]
1-3x1x2=19, x1x2=-6
x1+x2=1 解得x1=3, x2=-2
设解析式为f(x)=a(x-3)(x+2)
代入f(1/2)=-a25/4=25 解得 a=-4
故f(x)=-4x²+4x+24

Answer 2

由已知，函数开口向下，顶点为(1/2, 25)，对称轴为x=1/2，由于两个零点关于对称轴对称，设两个零点分别为(1/2-t, 0), (1/2+t, 0)，其中t>0，由已知，(1/2-t)^3+(1/2+t)^3=19，
利用立方和公式(1/2-t)^3+(1/2+t)^3=(1/2-t+1/2+t)[(1/2-t)^2-(1/2-t)*(1/2+t)+(1/2+t)^2]
=1*[((1/2-t)+(1/2+t))^2-3*(1/2-t)(1/2+t)]=[1-3*((1/2)^2-t^2)]=1-3/4+3*t^2，
所以1-3/8+3*t^2=19，解之，t=5/2（t>0，舍去负值）
故两个零点分别为(-2, 0), (3, 0)，设f(x)=a*(x+2)*(x-3)，由于函数过顶点(1/2, 25)，代入，解之得：
a=-4，这与函数开口向下相符。
故f(x)=-4(x+2)*(x-3)。

Answer 3

y=-4(x-3)(x加2)