Question

已知二元函数f(x,y)在点(0,0)的某个领域内连续

已知二元函数f(x,y)在点(0,0)的某个领域内连续,且lim( f(x,y)-xy)/((x^2+y^2)^2)=1,其中x,y分别趋于0,则下述四个选项中正确的是
A. 点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C. 点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D. 无法判定点(0,0)是否为f(x,y)的极值点

给个详细一点的答案给我，急着的

Answer 1

答案是A。（之前的给错了哈）

因为lim( f(x,y) - xy ) / ( ( x^2 + y^2 )^2 ) = 1
所以存在某个足够小的邻域满足 1/2 * ( ( x^2 + y^2 )^2 ) < f(x,y) - xy < 3/2 * ( ( x^2 + y^2 )^2 )
那么在更小的邻域内取 y=-x 上式右边不等式必然能够得到 f(x,y) < 0，具体过程应该懂的，因为那些符号这儿打不出来，实在不懂再追问。
同样如果取y=x 利用左边不等式可以得到 f(x,y) > 0。.
综上也就是说f(x,y)可能在足够小的邻域内可能大于也可能小于0.所以不是极值点

Answer 2

答案是A啊

Answer 3

答案是D
lim( f(x,y)-xy)/((x^2+y^2)^2)=1
f(x,y)必然满足
f(x,y)=(x²+y²)²+g(x,y)

g(x,y)是一个次数最大为3的函数。
df(x,y)/dx=2(x²+y²)*2x+gx(x,y)
df(x,y)/dy=2(x²+y²)2y+gy(x,y)
点(x,y)=(0,0)时

df(x,y)/dx=gx(0,0)
df(x,y)/dy=gy(0,0)

如果gx(0,0)=gy(0,0)=0，如g(x,y)=x²+y² ，gx(0,0)=gy(0,0)=0
那么函数f(x,y)取及值
如果gx(0,0)或gy(0,0)不等于0 ，如g(x,y)=x+y, gx(0,0)=gy(0,0)=1
函数f不取及值
所以无法判断f(x,y)是否取及值
选
D