Question

两道高中数学题求解答求过程。。感激！

1、王老师在今年初贷款a元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应还多少金？ 答案是ar(1+r)^5/[(1+r)^5-1]

2、设M（cosπx/3+cosπx/4,sinπx/3+sinπx/4)(x∈R)为坐标平面上一点，f(x)=(向量)|OM|^2-2，且f(x)的图像与射线y=0（x≥0）的交点的横坐标由小到大依次组成数列{an},则a2-a1等于（ ）。 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

Answer 1

1、设每年偿还x元，则
一年后，本金剩余a1=a(1+r)-x；
二年后，本金剩余a2=a1(1+r)-x；
三年后，本金剩余a3=a2(1+r)-x；
……
n年后，本金剩余an=a(n-1)(1+r)-x；
将an=a(n-1)(1+r)-x变形得an-(x/r)=(1+r)[a(n-1)-(x/r)]，可见an-(x/r)是一个公比为1+r的等比数列，所以
an-(x/r)=[a1-(x/r)](1+r)^(n-1)=[a(1+r)-x-(x/r)](1+r)^(n-1)=[a-(x/r)](1+r)^n
所以an=(x/r)+[a-(x/r)](1+r)^n=(x/r)[1-(1+r)^n]+a(1+r)^n
因为5年内还清，所以a5=0，即(x/r)[1-(1+r)^5]+a(1+r)^5=0，解这个方程得
x=ar(1+r)^5/[(1+r)^5-1]。
2、选A
f(x)=[cos(πx/3)+cos(πx/4)]² +[sin(πx/3)+sin(πx/4)]²-2
=cos²(πx/3)+cos²(πx/4)+sin²(πx/3)+sin²(πx/4)+2cos(πx/3)cos(πx/4)+2sin(πx/3)sin(πx/4)-2
=2cos(πx/3)cos(πx/4)+2sin(πx/3)sin(πx/4)
=2cos[(πx/3)-(πx/4)
=2cos(πx/12)
令f(x)=0得πx/12 =kπ+(π/2)，(k∈Z)，进而
x=6+12k
因为x≥0，所以6+12k≥0，解得k≥-0.5，所以k=0、1、2、……
所以a1=6，a2=18
所以a2-a1=18-6=12。

Answer 2

1.设每年偿还X元，列方程：
{[a（1+r）-x](1+r)-x}(1+r)-x这是3年 5年后面继续乘（1+r）再减x
最后展开得：a（1+r）^5-x[1+(1+r)+(1+r)^2+(1+r)^3+(1+r)^4]=0
解的x=ar(1+r)^5/[(1+r)^5-1]
2.化简的f(x)=2cosπx/12 令f(x)=0 得πx/12 =πx/2+kπ ，x=6+12k
所以选A