Question

已知cos(α-β/2)=-1/9,sin(α/2-β)=2/3,且α∈(0,π),β∈(0,π/2),求cos(α+β)

Answer 1

α∈(0,π),β∈(0,π/2),
所以α-β/2∈（-π/4,π）又cos(α-β/2)=-1/9<0,所以sin（α-β/2）=（4根号5）/9
同理求得cos(α/2-β)=（根号5）/3
求得：sin[(α-β/2)-(α/2-β)]=22/27=sin(α/2+β/2)
cos(α+β)=1-2[sin(α/2+β/2)]^2=-239/729

Answer 2

分析：用已知角凑配未知角，即已知条件中出现的角(α-β/2)、(α/2-β)，未知角就是所求的角α+β，
所以α+β=2【(α-β/2)+(α/2-β)】。
解：已知cos(α-β/2)=-1/9,sin(α/2-β)=2/3,且α∈(0,π),β∈(0,π/2),
可得sin(α-β/2)=4倍根号5/9,cos(α/2-β)=根号5/3,
所以cos【(α-β/2)+(α/2-β)】=cos(α-β/2)cos(α/2-β)-sin(α/2-β)sin(α-β/2)=-根号5/3
即cos（α+β)=2倍【cos（α+β)/2】的平方-1=1/9

Answer 3

cos(A+B)
=cos{2[(A-B/2)-(A/2-B)]}
=2{cos[(A-B/2)-(A/2-B)]}^2-1
=2{[cos(A-B/2)cos(A/2-B)]+[sin(A-B/2)sin(A/2-B)]}^2-1
∵A∈(0,π),B∈(0,π/2)
∴A-B/2∈(-π/4,π),A/2-B∈(0,π)
∵cos(A-B/2)=-1/9,sin(A/2-B)=2/3
∴A-B/2∈(π/2,π)
∴3π/4<A<π
∴A/2-B∈(-π/4,π/2)
∴sin(A-B/2)=(4√5)/9,cos(A/2+B)=(√5)/3
则cos(A+B)=-239/729