Question

若二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x且f（0）=1 （1）求f（x）解析式

（2）若在区间[-1,1]上，不等式f（x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

(1)由f（0）=1可知，c=1
根据f（x+1）-f（x）=2x，将x=0和x=-1分别代入
可得f（1）-f（0）=0和f（0）-f（-1）=-2
代入解析式可得a=1，b=-1
所以f（x）=x^2-x+1
(2)将所得解析式代入化简
x^2-3x+1-m>0
构造新函数g（x）=x^2-3x+1-m
若g(x)在[-1,1]上恒大于0
则要求g（1）>0(因为g（x）对称轴为x=3/2,[-1,1]在对称轴左边，数形结合可知)
可求得m<-1

Answer 2

(1)由f(x+1)-f(x)=2x得，a*(x+1)^2+b(x+1)+c-a*x^2-bx-c=2x，即2ax+a+b=2x，由多项式恒等知，2a=2且a+b=0,故有 a=1,b=-1; 由f（0）=c=1知c=1 综上得，f(x)=x^2-x+1
(2)令g(x)=f(x)-2x=x^2-3x+1, 其对称轴为x=3/2,且抛物线开口向上，所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减，f(x)的最小值为f(1)=-1，要不等式g（x)>m恒成立，需g(x)的最小值大于m即可，即m<-1
希望你能采纳，谢谢！

Answer 3

汗。。第一问（1）a=1，b=-1，c=1其中因为f（0）=1所以c=1
f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+b+1,所以2a=2，a+b=0，及的abc。
（2）f(x)=x^2-x+1>2x+m所以x^2-3x+1>m恒成立(x属于[-1,1])
而x^2-3x+1在x属于[-1,1]上最小值为-1所以m的取值范围为{m|m<-1}

Answer 4

解析式为：x^2+x+1