Question

已知p,q为正整数，且q/p=1-1/2+1/3-1/4+...+1/1999-1/2000。求证：3001是q的约数。

帮忙啦！！！拜托啦！！！

Answer 1

首先注意q/p=1-1/2+1/3-1/4+...+1/1999-1/2000=1+1/2+1/3+...+1/2000-(1+1/2+...+1/1000)=1/1001+1/1002+...+1/2000
两边同乘1001×1002×...×2000p得到
1001×1002×...×2000q=(1002×1003...×2000+1001×1003×...×2000+...+1001×1002×...×1999)p
又注意到1002×1003...×2000+1001×1003×...×2000+...+1001×1002×...×1999
=(1001+2000)×1002×1003×...×1999+(1002+1999)×1001×1003×...×1998×2000+...+(1500+1501)×1001×...×1499×1502×...×2000
=3001×(1002×1003×...×1999+1001×1003×...×1998×2000+...+1001×...×1499×1502×...×2000
)
是3001的倍数，因此1001×1002×...×2000q也是3001的倍数
而3001是质数，因此1001×1002×...×2000与3001互质，那么q是3001的倍数，即3001是q的约数。

Answer 2

好难。。。我是在想，把等式右边化成3001*（a-b+c-d...）这种形式，不过对于3001这个感觉好难，目前只考虑到诸如 1/1001+1/2000的分式为1，以此类推，1/1001为负数，你在考虑考虑，思路应该没错，我手头没计算器，你再试试3001是否有约数？有了就好办得多

Answer 3

，，，好吧我又遇到了你，，，，