Question

高等数学问题，2元函数的极限

求lim （1 + xy）^(1/(x+y))的极限
x→0
y→0
书上解法是是原式=lim e^xy/(x+y)
(x,y)→(0,0)
请问高手这一步是怎么得来的，
我已经知道lim （1 +x) ^1/x=e
x→0

Answer 1

对于幂指函数的极限，常取对数，所以化为e^[ln(1+xy)/(x+y)]，用等价无穷小ln(1+x)~x(x→0)，则ln(1+xy)替换为xy，得
原式=lim e^xy/(x+y)

Answer 2

lim （1 + xy）^(1/(x+y))
=lim （1 + xy）^[1/xy*xy(1/(x+y))]（将xy当成一个数来看）
=lim e^[xy/(x+y)]
{e^[xy/(x+y)]}‘=0时有极值
求导得：(x^2+y^2)/(x+y)^2=0

x→0
y→0

Answer 3

因为lim （1 +x) ^1/x=e，所以可知lim （1 +xy) ^1/(xy)=e， x→0 x→0 ,y→0
故 lim （1 + xy）^(1/(x+y))= lim(1+xy)^[(1/xy)*(xy/(x+y))]=lime^xy/(x+y)
x→0 ，y→0 (x,y)→0 (x,y)→0

Answer 4

令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0)

追问

我是问=lim e^xy/(x+y)
是怎么推出来的

Answer 5

两边求导