Question

问概率论与数理统计问题

已知X的密度函数fX（x）,y=g(x),x=h(y)为y=g(x)的反函数，用公式法求密度函数时使用公式：fY（y）=fX[h(y)]|h'(y)|
请问公式如何推导出来的？

Answer 1

FX(x)=∫(-无穷~x) fX(x) dx
FY(y)=P(Y<=y)
=P(g(X)<=y)
=P(X<=h(y))
=F(h(y))
=∫(-无穷~h(y)) fX(x) dx

用换元,把积分换成以dy为基础
x∈(-无穷~h(y))

则g(x)∈(-无穷~g(h(y)))
g(x)=y，已知条件定义
g,h为反函数所以g(h(y))=y
所以y∈(-无穷,y)

x=h(y)
dx=h'(y)dy

FY(y)=∫(-无穷~h(y)) fX(x) dx
=∫(-无穷~y) {fX(h(y)) h'(y)} dy

fY(y)=dFY(y)/dy
积了再导等于无用功，直接把里面要积的式子拿出来
=fX(h(y))[h'(y)]

Answer 2

从定义出发，先求Fx的概率函数，然后根据定义求Fy的概率函数，求导就可以证明公式了