Question

f(x)=(a-x)\(x-a-1)的图像的对称中心是（3，-1），则a=

Answer 1

设点P(x,y)在函数f(x)的图像上，依题意知其关于点(3,-1)的对称点P'也在图像上
易知P'的坐标为P'(6-x,-2-y)，则有
当y=f(x)成立时，-2-y=f(6-x)恒成立
y=f(x)成立，即y=(a-x)/(x-a-1) ①
-2-y=f(6-x)，即-2-y=(a-6+x)/(6-x-a-1) ②
①式最后可得
y=-1-1/ (x-a-1) ③
②式两边同乘以-1，最后可得
y=-1-1/ (x+a-5) ④

要求②式恒成立，比较 ③、 ④式知，只需下式恒成立

x-a-1=x+a-5
易知，只需-a-1=a-5
最后得a=2

Answer 2

f(x)=(a-x)\(x-a-1)=-(x-a)(x-a-1)=-(x-a)^2+(x-a)
可知,该函数是开口向下的二次函数,它只有对称轴,没有对称中心

Answer 3

a=2

Answer 4

f(x)=-(x-a-1)-1/x-a-1=-1-1/x-(a+1)
所以f(x)的对称中心是（a+1，-1）
又知对称中心是（3，-1）
所以a=2