Question

△ABC中，内角角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知b平方=ac，且cosB=3\4

△ABC中，内角角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知b平方=ac，且cosB=3\4
1）求tanA分之1+tanC分之1的值
2)设向量BA×向量BC=3\2,求a+c的值

Answer 1

解：(1)1/tanA+1/tanC=(tanA+tanC)/(tanA*tanC)=cosA*cosC(tanA+tanC)/(sinA*sinC)
=(sinAcosC+sinCcosA)/(sinA*sinC)=[sin(A+C)]/(sinA*sinC)
∵cosB=3/4 又∵在△ABC中，0<B<π ∴sinB>0，sinB=√(1-(cosB)^2)=(√(7))/4
∵A+B+C=π ∴A+C=π-B，sin(A+C)=sin(π-B)=sinB=(√(7))/4
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ∴ac/(sinA*sinC)=(b/sinB)^2，1/(sinA*sinC)=b^2/(ac*(sinB)^2)
∵b^2=ac ∴1/(sinA*sinC)=(1/sinB)^2=16/7
∴1/tanA+1/tanC=[(√(7))/4]*(16/7)=(4√(7))/7
(2)∵BA*BC=|BA|*|BC|*cosB=ac*cosB=3/2 ∴ac=(3/2)*(4/3)=2，b^2=ac=2
由余弦定理：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB，2=a^2+c^2-4*(3/4)，5=a^2+c^2，
9=a^2+2ab+c^2=(a+b)^2 ∵a+c>0 ∴a+c=3