Question

已知函数f(x)=X²-2ax+5

(1)若f(x)的定义域和值域均是[1.a],求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2）上是减函数,且对任意的x∈[1，a+1],总有-4≤f（x）≤4成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

(1)f(x)=X²-2ax+5=(x-a)^2+(5-a²)
f(a)是最小值
假设a>=1，则f(a)=1 f(1)=a
(5-a²)=1
(1-a)^2+(5-a²)=a
=>a=2
假设a<1, f(a)=a, f(1)=1
=>(5-a²)=a
(1-a)^2+(5-a²)=1
此时无解。
=>a=2

(2) f'x()=2x-2a .
在区间（-∞，2）上是减函数
=>2*2-2a<0
=>a>2

对任意的x∈[1，a+1],总有-4≤f（x）≤4
=>f(x)=X²-2ax+5=(x-a)^2+(5-a²)
f(a)是最小值。=>f(a)>=-4 =>5-a²>=-4 =>2<a<=3
因为a+1-a=1<a-1 =>1到极值点距离大于a+1到极值点距离=>f(1)是最大值
f(1)=(1-a)^2+(5-a²)<=4 =>6-2a<=4 =>a>=1
综合两个式子 =>2<a<=3

Answer 2

若f（x）在区间（-∞，2）上是减函数,且对任意的x∈[1，a+1],总有-4≤f（x）≤4成立，求实数a的取值范围。