Question

求导问题

分段函数f(x)=(x^2)*sin(1/x) x!=0;
f(x)=0 x=0;
求在x=0处的导数时候，用定义算出来是0。
但是为啥我对y=(x^2)*sin(1/x)求导函数，算出x=0处的导数是1.
虽然y=(x^2)*sin(1/x)在0处不连续，但是为什么两个导数算出来不等呢？
还有不连续的地方怎么也算的出来导数？

Answer 1

有个地方似乎没有弄清楚，f(x)在x=0处是连续的。
虽然y=(x^2)*sin(1/x)在0处不连续，其原因在于x=0处没有定义，但是在该点的左右极限都存在（这样的间断点称为第一类间断点），并且相等，故可以分段函数的方式补充定义该点的函数值，使之连续。
第一类间断点可以参阅：
http://baike.baidu.com/view/998049.htm

对y=(x^2)*sin(1/x)求导，结果是2*x*sin(1/x)-cos(1/x)，在x=0处是没有导数的，不会是1。（求导法则能够适用的一个前提条件是导数存在且求得的导函数在该点有意义）
对于f(x)在x=0处的导数，应该用定义算。f(x)在这点是连续的。
对于这个例子，f(x)在x=0这点的导数虽然存在，但是导函数并不连续。

Answer 2

注：y=(x^2)*sin(1/x)在0处连续！
x!=0 时， y=(x^2)*sin(1/x)求得导函数 y '= 2x sin(1/x) - cos(1/x)
x=0 时, 用定义求得 y ' (0)= Limit【(x^2)*sin(1/x) / x , x->0】= 0
导函数在 x=0 处的极限不存在。
不连续的点肯定是不可导的。