Question

已知数列{an}中a1=4/3且a（n+1=2/（3-an）。

记Sn=（a2-1）（2-a1）+（a3-1）（2-a2）……+（a（n+1）-1）（2-an），求使Sn-1/3的绝对值小于0.001成立的最小整数n

Answer 1

a(n+1)=2/(3-an)
a(n+1)(3-an)=2
其特征方程的解为x1=1,x2=2
[a(n+1)-1](3-an)=2-(3-an)=an-1
[a(n+1)-2](3-an)=2-2(3-an)=2(an-2)
相除：
[a(n+1)-1]/[a(n+1)-2]=(1/2)(an-1)/(an-2)
设bn=(an-1)/(an-2),b1=(a1-1)/(a1-2)=-1/2
b(n+1)=(1/2)bn
bn=b1(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n
(an-1)/(an-2)=bn=-(1/2)^n
an-1=-(1/2)^n*(an-2)=-an(1/2)^n+(1/2)^(n-1)
[1+(1/2)^n]an=1+(1/2)^(n-1)
an=[1+(1/2)^(n-1)]/[1+(1/2)^n]

[a(n+1)-1](2-an)={[1+(1/2)^n]/[1+(1/2)^(n+1)]-1}{2-[1+(1/2)^(n-1)]/[1+(1/2)^n]}
={[(1/2)^(n+1)]/[1+(1/2)^(n+1)]}{1/[1+(1/2)^n]}
=[(1/2)^(n+1)][1+(1/2)^n]/[1+(1/2)^(n+1)]
=[1+(1/2)^n]/[1+2^(n+1)]
=[2+2^(n+1)]/{[1+2^(n+1)][2^(n+1)]}
=[2+2^(n+1)]{{[1/[2^(n+1)]-1}/[1+2^(n+1)]}
=[2+2^(n+1)]/[2^(n+1)]-[2+2^(n+1)]/[1+2^(n+1)]
=1/2^n-1/[1+2^(n+1)]
Sn=1/2-1/[1+2^2]+1/2^2-1/[1+2^3]+1/2^3-1/[1+2^4]+……+1/2^(n-1)-1/[1+2^(n+1)]+1/2^n-1/[1+2^(n+1)]
=1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)+1/2^n-{1/[1+2^2]+1/[1+2^3]+1/[1+2^4]+……+1/[1+2^(n+1)]}
=(1/2)[1-(1/2)2^n]/(1-1/2)-{1/[1+2^2]+1/[1+2^3]+1/[1+2^4]+……+1/[1+2^(n+1)]}
=1-(1/2)2^n-{1/5+1/9+1/17+……+1/[1+2^(n+1)]}
Sn-1/3=2/3-(1/2)2^n-{1/5+1/9+1/17+……+1/[1+2^(n+1)]}

-0.001≤2/3-(1/2)2^n-{1/5+1/9+1/17+……+1/[1+2^(n+1)]}≤0.001
-1997/3000≤(1/2)2^n+{1/5+1/9+1/17+……+1/[1+2^(n+1)]}≤2003/3000

n/[1+2^(n+1)]≤1/5+1/9+1/17+……+1/[1+2^(n+1)]≤n/5
只要
-1997/3000≤n/[1+2^(n+1)]≤1/5+1/9+1/17+……+1/[1+2^(n+1)]≤n/5≤2003/3000
-1997/3000≤n/[1+2^(n+1)]≤n/5≤2003/3000
2≤n≤3

Answer 2

a（n+1）=2/（3-an）。特征方程T=2/(3-T),T=1或2，两边减1
a（n+1）-1=2/（3-an）-1=（an-1）/（3-an）。取倒数
1/（a（n+1）-1）=（3-an）/（an-1）=-1+2/（an-1）。两边减1
1/（a（n+1）-1）-1=2（-1+1/（an-1））。
1/（a（n+1）-1）-1为等比数列，公比2，首项2，
an=1/（2^n+1）+1
（a（n+1）-1）（2-an）=1/2^n-1/(2^(n+1)+1)，
Sn=