Question

询问一道高中数列问题

已知公差不为0的等差数列an的首项为a,且1/a1,1/a2,1/a4成等比数列,试比较1/a1+1/a2^2+1/a2^3+……+1/a2^n与1/a1的大小

Answer 1

设该等差数列公差为d,则依题
a1,a2,a4为等比数列
即a(a+3d)=(a+d)^2
即a^2+3ad=a^2+2ad+d^2
故ad=d^2
因为d≠0,
所以a=d
an=a*n
问题可能把第一个式子里的1/a2写成1/a1了
1/a2+1/a4+1/a8+...+1/a2^n=1/2a*(1+1/2+1/4+...+1/2^n)……1）
1/a1=1/a……2）
由等比数列求和极限公式知1）<2)

追问

就是不知道怎么分类才问的，这样不还要考虑n吗

追答

请问问题的第一个式子中是a2的n次方还是a(2的n次方？)这恐怕影响答案

追问

是a2的n次方，同二楼

追答

那我重新做一遍
求公差a=d以前都是对的
但问题的第一个式子是不是1/a2+1/(a2)^2+......?
谢谢！

追问

嗯，不好意思 我打错了

追答

第一个式子（1）=1/2a+1/4a^2+...+1/(2a)^n
第二个式子（2）=1/a
当a=1/2时（1）=n,（2）=2,这只需对n的大小进行讨论
当a≠1/2时（1）=1/2a*[1-1/(2a)^n]/(1-1/2a)=[1-1/(2a)^n]/(2a-1)
（1）-（2）=[1- (2a-1)/a-1/(2a)^n]/(2a-1)= [1/a-1-1/(2a)^n]/(2a-1)
当a>1/2时(1)-(2)<0即（1）<（2）
当a<1/2时讨论n,只需比较2^n*a^(n-1)-1与2^n*a^n的大小即可

Answer 2

不妨设d为该数列的公差，则An=A1+(n-1)d，则A1=a,A2=a+d,A4=a+3d
因而1/A1，1/A2,1/A4成等比，则
（1/A2）²=（1/A4）（1/A1）
（A2）²=A1A4
(a+d)²=a(a+3d)
a²+d²+2ad=a²+3ad
ad=d²
a=d
则An=na，Sn=n(n+1)a/2

a2^2=a1*a4，由等差得an=a1+（n-1）d，a1=a；带入得，an=na；则，1/a2+1/a2的平方+1/a2的3次+…+1/a2的n次与1/a1的大小 等价于 1/a2+1/a2的平方+1/a2的3次+…+1/a2的n-1次与1的大小，而1/a2的n-1次为等比

Answer 3

首项为a，设这个等差数列的公差是d，则：
(1/a2)²=(1/a1)×(1/a4) ===>>>>> a(a＋3d)=(a＋d)² ===>>>> ad=d² ===>>> a=d
则：an=na
设：M=1/a2＋1/a4＋1/a8＋…＋1/a2^n
=1/(2a)＋1/(4a)＋1/(8a)＋…＋1/[(2^n)a]
=(1/a)[(1/2)＋(1/2)²＋(1/2)³＋…＋(1/2)^n]
=(1/a)[1－(1/2)^n]<(1/a)=1/a1
则：1/a1＋1/a2^2＋1/a2^3＋…＋1/a2^n<1/a1

追问

不好意思，题目是1/a2+1/(a2)^2……a2是数列第二项

追答

是的。我是按照正确的题目做的，我估计是你把题目抄错了。

追问

真的没抄错，2是角标

追答

是的。我不是按照你抄的错题做的，我是按照正确的题目给你做的解答。

追问

这是卷子上的原题，题目没有错

追答

我是按照角标是2来做的。。你的题目中的角标是1，我怀疑是错的，所以我就按照角标是2来做的。
我求是的：1/a2＋1/a2^2＋……＋

追问

是的，我知道，第一项是我打错了，但后面的是（a2)^2...(a2)^3...(a2)^n,a2=2a,(a2)^2=4a^2

追答

哦。
解答如下：设N=1/(a1)=1/a
设M=[1/a2]＋[1/a2]²＋[1/a2]³＋…＋[1/a2]^n ===>>>> a2=2a
=[1/2a]＋[1/2a]²＋[1/2a]³＋…＋[1/2a]^n =====>>> 公比是q=1/2a
1、若a=1/2，则公比q=1，此时M=n，N=1/a=2，
2、若a≠1/2，则可以利用公式计算出M的结果。
不过我还是觉得应该是我以前做的模式才是真题。