Question

，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 根号2。

1.求证AO垂直平面BCD.
2求点E到平面ACD的距离。

Answer 1

解：
法一：
取AC中点F，连接OF、OE、EF
∵E、F分别是BC、AC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴EF∥AB，且EF＝1/2AB＝√2/2
∵O、E分别是BD、BC的中点
∴OE∥CD，且OE＝1/2CD＝1
∴异面直线AB与CD所成的角等于∠OEF(或其补角)
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
∴OF＝1/2AC＝1
∴等腰△OEF中，cos∠OEF＝(1/2EF)/OE＝√2/4

法二：
以O为原点，建立空间直角坐标系
则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，√3，0)，A(0，0，1)，E(1/2，√3/2，0)
向量BA＝(－1，0，1)，向量CD＝(－1，－√3，0)
∴cos<向量BA，向量CD>＝(向量BA•向量CD)/(|BA| |CD|)＝√2/4
D1

追问

我没有问角度，同样的题居然遇到这么变态的其他两个问题，麻烦解一下。

Answer 2

因为CB=CD，F为BD的中点，所以CF垂直BD
因为EF是三角形ABD的中位线，所以EF平行AD，因为AD垂直BD，所以EF垂直BD，
因为BD垂直EF，同时又垂直CF，所以BD垂直平面EFC，所以平面EFC垂直平面BCD

Answer 3

本类题，最好用空间向量来做
（1）解：建立以BD的中点O为原点，以OB,OC,OA为X轴Y轴Z轴的正方向的空间直角坐标系，O(0,0,0),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-1,0,0)
向量AB=(1,0,-1),向量CD=(-1,√3,0)
cos<AB,CD>=（√2）/4
（2）解：做AF垂直AC于F(AB平行EF)
因为AB垂直AD
AB平行AF
所以E到面ACD的距离就是|EF|
又因为E为BC中点，F为AC中点，所以|EF|=1/2|AB|=（√2）/2
|EF|=（√2）/2