Question

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且A＜B＜C，tanA×tanC＝2＋根号3

1）求角A，B，C的大小
⑵如果BC=4倍的根号三，求△ABC的一边AC长及三角形面积

Answer 1

△ABC的三内角成等差数列,且A<B<C
得：B＝60°且A＋C＝120°
∴tan（A＋C）＝tan120°＝－√3
＝(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
又∵tanAtanC＝2＋√3
∴tanA＋tanC＝tan（A＋C)（1－tanAtanC）＝tan120°(1－2－√3 ）
＝－√3（－1－√3 ）＝3＋√3
∵tanA、tanC可作为一元二次方程x2－（3＋√3）x＋（2＋√3）＝0的两根
又∵0＜A＜B＜C＜π
∴tanA＝1, tanC＝2＋√3
即：A＝45°，C＝75° B＝60°

a=4√3，
根据正弦定理得a/sin A =b/ sin B,可得b=6√2，即AC=6√2
三角形面积=1/2*absinC=1/2*4√3*6√2*sin75°=18+6√3.