求初中数学动点问题的题目及答案！354631366
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初二动点问题
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．
（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t= ②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t= ③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
分析：
以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．
以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．
如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．
解答：
解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为 -1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
分析：
（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．
解答：
解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形
点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：
解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
： ①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：
解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形 的边长为4厘米，长为1厘米的线段 在 的边 上沿 方向以1厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒．
1、线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
2、如图，在梯形 中， 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
（1）求 的长．
（2）当 时，求 的值．
（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形．
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，
并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？
若有最小值，最小值是多少？
(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？
若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
2、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值；
(2)求直线BC的解析式；
(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤ 时，试求出m的取值范围；
②当t＞ 时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？
4、在 中， 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设 的面积为 ，求 与月份 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时， 为直角三角形。
5、（杭州）在直角梯形 中， ，高 （如图1）。动点 同时从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为 时， 的面积为 （如图2）。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在 边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图3中的线段 。
（1）分别求出梯形中 的长度；
（2）写出图3中 两点的坐标；
（3）分别写出点 在 边上和 边上运动时， 与 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中 关于 的函数关系的大致图象。
6、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在 正半轴上，且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求等边 的边长（用 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值；
（3）如果取 的中点 ，以 为边在 内部作如图2所示的矩形 ，点 在线段 上．设等边 和矩形 重叠部分的面积为 ，请求出当 秒时 与 的函数关系式，并求出 的最大值．
7、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x= 时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；
8、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上），当点 于点B重合时，停止平移.在平移过程中， 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
（1）当 平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 与 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分面积为 ，请写出 与 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值；使得重叠部分的面积等于原 面积的 ？若不存在，请说明理由.
1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？
3. 如图，在等腰梯形 中， ∥ ， ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 从 开始沿 边向 以每秒3cm的速度移动，点 从 开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。
（1）求证：当t= 时，四边形 是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。
4. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交 的平分线于点E，交 的外角平分线于F。
（1）求让： ；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且AEBC=62，求 的大小。
5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积.
6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？
7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G.
⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
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初二动点问题
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．
（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．
点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t= ②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t= ③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
分析：
以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．
以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．
如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．
解答：
解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为 -1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
分析：
（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．
解答：
解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形
点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：
解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
： ①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：
解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形 的边长为4厘米，长为1厘米的线段 在 的边 上沿 方向以1厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒．
1、线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
2、如图，在梯形 中， 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
（1）求 的长．
（2）当 时，求 的值．
（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形．
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，
并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？
若有最小值，最小值是多少？
(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？
若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
2、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值；
(2)求直线BC的解析式；
(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤ 时，试求出m的取值范围；
②当t＞ 时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？
4、在 中， 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设 的面积为 ，求 与月份 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时， 为直角三角形。
5、（杭州）在直角梯形 中， ，高 （如图1）。动点 同时从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为 时， 的面积为 （如图2）。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在 边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图3中的线段 。
（1）分别求出梯形中 的长度；
（2）写出图3中 两点的坐标；
（3）分别写出点 在 边上和 边上运动时， 与 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中 关于 的函数关系的大致图象。
6、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在 正半轴上，且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求等边 的边长（用 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值；
（3）如果取 的中点 ，以 为边在 内部作如图2所示的矩形 ，点 在线段 上．设等边 和矩形 重叠部分的面积为 ，请求出当 秒时 与 的函数关系式，并求出 的最大值．
7、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x= 时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；
8、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上），当点 于点B重合时，停止平移.在平移过程中， 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
（1）当 平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 与 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分面积为 ，请写出 与 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值；使得重叠部分的面积等于原 面积的 ？若不存在，请说明理由.
1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？
3. 如图，在等腰梯形 中， ∥ ， ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 从 开始沿 边向 以每秒3cm的速度移动，点 从 开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。
（1）求证：当t= 时，四边形 是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。
4. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交 的平分线于点E，交 的外角平分线于F。
（1）求让： ；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且AEBC=62，求 的大小。
5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积.
6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？
7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G.
⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
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在三角形ABC中，角B等于90°，AB等于6，BC等于8，点Q从A点出发沿着AB,BC移动，点P从B点出发，沿着BC,AC移动，且T大于6，小于等于9，问三角形PQC的面积可以等于12.6么？如果可以求出T的值。
解：设经过的时间为t
当P在AB上，Q在BC上时，AP=t≤6，BQ=2t≤8，0≤t≤4
S[PCQ]
=(BC-BQ)*(AB-AQ)/2
=(8-2t)(6-t)/2=12.6
5(4-t)(6-t)=63
5t^2-50t+57=0
t=5-2√85/5
或t=5+2√85/5（舍去）
当P在BC上，Q在AC上时，6<t<14，8<2t<18，6<t<9
BP=t-6；CQ=2t-8
S[PCQ]
=(CQ/AC)*AB*(BC-BP)/2
=(2t-8)*6*(14-t)/20=12.6
即(t-4)*(14-t)=21
t=7或11（舍去）
所以当t=5-2√85/5秒或7秒时，三角形PCQ的面积等于12.6cm^2
回答者： abei_945 - 探花 十级 1-3 20:38
解：设经过t秒后，三角形PCQ的面积等于12.6cm^2.
过Q点作BC的垂线QD,交BC于D.
由已知条件可知,当t秒时,AP=t,BQ=2t;
又由勾股定理可知AC^2=8^2+6^2=100,AC=10;
而由以上可得:AQ=(10+8)-2t=18-2t,则QC=10-(18-2t)=2t-8;
PC=(6+8)-t=14-t.
由QD垂直于BC,角B=90度,可得QD‖AB,则得到:QD/AB=QC/AC,即
QD/6=(2t-8)/10,解得QD=3(2t-8)/5;
三角形PCQ的面积为:(1/2)*PC*QD=(1/2)*(14-t)*3(2t-8)/5=12.6,解方程即得t=11(秒)或T=7(秒).而因t=11秒时2t=22大于AC于BC之和,不符合条件.
所以,经过7秒后，使三角形PCQ的面积等于12.6cm^2.
解：设经过的时间为t
当P在AB上，Q在BC上时，AP=t≤6，BQ=2t≤8，0≤t≤4
S[PCQ]
=(BC-BQ)*(AB-AQ)/2
=(8-2t)(6-t)/2=12.6
5(4-t)(6-t)=63
5t^2-50t+57=0
t=5-2√85/5
或t=5+2√85/5（舍去）
当P在BC上，Q在AC上时，6<t<14，8<2t<18，6<t<9
BP=t-6；CQ=2t-8
S[PCQ]
=(CQ/AC)*AB*(BC-BP)/2
=(2t-8)*6*(14-t)/20=12.6
即(t-4)*(14-t)=21
t=7或11（舍去）
所以当t=5-2√85/5秒或7秒时，三角形PCQ的面积等于12.6cm^2
回答者： abei_945 - 探花 十级 1-3 20:38
解：设经过t秒后，三角形PCQ的面积等于12.6cm^2.
过Q点作BC的垂线QD,交BC于D.
由已知条件可知,当t秒时,AP=t,BQ=2t;
又由勾股定理可知AC^2=8^2+6^2=100,AC=10;
而由以上可得:AQ=(10+8)-2t=18-2t,则QC=10-(18-2t)=2t-8;
PC=(6+8)-t=14-t.
由QD垂直于BC,角B=90度,可得QD‖AB,则得到:QD/AB=QC/AC,即
QD/6=(2t-8)/10,解得QD=3(2t-8)/5;
三角形PCQ的面积为:(1/2)*PC*QD=(1/2)*(14-t)*3(2t-8)/5=12.6,解方程即得t=11(秒)或T=7(秒).而因t=11秒时2t=22大于AC于BC之和,不符合条件.
所以,经过7秒后，使三角形PCQ的面积等于12.6cm^2.
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能具体些吗？
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