Question

数学（高一），回答了再额外奖励，No悬赏

数学：1.已知x²+y²=1，定点A（1，0），B、C时圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且∠BOC=60°（O为坐标原点），求△ABC重心G的轨迹方程。
2.过点P（-8，0），引圆C：x²+y²-2x+10y+4=0的割线，求此圆截得的弦的中点的轨迹方程。
3.已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线 l ：mx-y+1-m=0.
（1）......
（2）设直线与圆交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若定点P（1，1）分弦AB为 AP/PB =1/2，求此时直线的方程。

Answer 1

1、此题不好想，的确是一个难题，如果学过必修4也会好想一些，因为单位圆（就是x²+y²=1）和三角函数线是直接相关的，没学过必修4的话这道题根本就是不可解的题目（因为中间涉及三角函数的计算）。解法似乎只此一种，因为不假设点的坐标的话就无从计算重心位置
解答：设点B的坐标(cosθ，sinθ)（0＜θ＜5π/3，不在这个范围内的话ABC就不是逆时针排列了，不信你画个图试试）
则点C的坐标(cos(θ+π/3)，sin(θ+π/3))
设三角形ABC重心G(x，y)
x=[1+cosθ+cos(θ+π/3)]/3……①
y=[0+sinθ+sin(θ+π/3)]/3……②
（这两个方程是由重心公式得到的，三角形的各点为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）时，其重心的坐标是（（x1+x2+x3）/3，（y1+y2+y3）/3），这是很显然的，因为重心是三边中垂线的交点）
①²+②²得到（3x-1）²+（3y）²=2+2cosπ/3=3
所以圆的轨迹方程就是（x-1/3）²+y²=1/3

2、
设割线交圆C于A、B两点，M为AB中点，AB就是所求的中点
方法一：
x²+y²-2x+10y+4=0即（x-1）²+（y+5）²=22
∵CM⊥PM
∴弦AB的中点M的轨迹是以P（-8，0）、C（1，-5）中点为圆心，|PC|长为直径的圆。
∴所求轨迹方程为（x+7/2）²+（y+5/2）²=53/2 （圆C的内部）
方法二：
设M（x，y）
则向量CM=（x-1，y+5），向量PM=（x+8，y）
∵向量CM⊥向量PM
∴向量CM点乘向量PM=0
∴（x-1）（x+8）+y（y+5）=0
∴所求轨迹方程为（x+7/2）²+（y+5/2）²=53/2 （圆C的内部）
此题不建议直接解方程组x²+y²-2x+10y+4=0……①y=k(x+8)……②，会很难以计算

3、（2）设中点M的坐标为(x,y),连结CM，CP，
知P（1,1）在直线l也即弦AB上。
∵C(0,1), P(1,1), |CM|²+|PM|²=|CP|²,
∴x²+(y─1)²+(x─1)²+(y─1)²=1
整理得轨迹方程为：x²+y²─x─2y+1=0 (x≠1)
（3）设A(x1,y1), B(x2,y2),由AP/PB=1/2, 得：（x2+2x1）/（1+2）=1……①,
又由直线方程和圆的方程联立消去y得：(1+m²)x²─2m²x+m²─5=0 (*)
,故x1+x2=2m²/（1+m²）……②,
由①、②得x1=（3+m²）/（1+m²），代入(*)解得：m=±1.
∴直线l的方程为x─y=0或x+y─2=0.

Answer 2

1 圆的参数方程为

x=cosθ

y=sinθ

θ∈[0，2π）

设点B的坐标(cosθ，sinθ)

C的坐标(cos(θ+π/3)，sin(θ+π/3))

三角形ABC重心G(x，y)

x=[1+cosθ+cos(θ+π/3)]/3.......................(1)

y=[sinθ+sin(θ+π/3)]/3.....................(2)

这里根据和差化积公式有，

cosθ+cos(θ+π/3)=2cos[(2θ+π/3)/2]cosπ/6=√3cos(θ+π/6)

sinθ+sin(θ+π/3)=2sin[(2θ+π/3)/2]cosπ/6=√3sin(θ+π/6)

有(1)式变形：cosθ+cos(θ+π/3)=3x-1=√3cos(θ+π/6)..................(3)

(2)式变形:：sinθ+sin(θ+π/3)=3y=√3sin(θ+π/6).......................(4)

上面的两个式子的平方和有

(3x-1)²+9y²=3

三角形ABC重心的轨迹方程(3x-1)²+9y²=3

Answer 3

解题过程都会比较复杂的哈

Answer 4

太过复杂。牛！~