Question

一道奥数题 求方法答案和过程。

3个学生拿回了考过的算术试卷。他们的分数各不相同，但是3人中没有得0分和100分的人。他们各自知道自己的分数，也从老师那里知道自己的排名，但是都不知道其他2人的分数和排名。于是，大家互相提供信息。
冈部说：我的分数是10的倍数，
田中说：我的分数是12的倍数。
森内说：我的分数是14的倍数。
田中思考后说：现在，我知道所有的人的分数了。请问：田中的分数是多少？

Answer 1

冈部说：我的分数是10的倍数，他可能的分数为10、20、30、40、50、60、70、80、90
田中说：我的分数是12的倍数。他可能的分数为12、24、36、48、60、72、84、96
森内说：我的分数是14的倍数。他可能的分数为14、28、42、56、70、84、98
这个题目枚举法一步一步的进行：
假设田中第一名，且为96分，那么冈部可以是9种分数任意一个，森内分数为6种分数任意一个，且70只能出现在一个人那里；此种假设失败。
假设田中第一名，且为84分，那么冈部可以是8种任意一个，森内分数为5种，且70只能出现在一个人那里；此种假设失败。
据此类推
假设田中第一名，且为24分，不可能，冈部可以有两个分数，
假设田中第一名，且为12分，不可能，森内无分数。
推测田中不可能是第一名。
假设田中是第二名，且为96，可以知森内98分，但是冈部可以是9种分数中的任意一种，所以不成立，
假设田中是第二名，且为84，森内98分，冈部有8种分数，不可能，或冈部90分，森内有五种分数，所以不成立，
假设田中是第二名，且为72，不成立，
假设田中是第二名，且为12，冈部只能是10分，森内有7种分数，不能成立，
推测田中不可能是第二名。
假设田中是第三名，且分数为96，那么可以直接推出森内98分，冈部无分数，不成立
假设田中是第三名，且分数为84，那么可以直接推出森内98分，冈部90，只此一种答案，成立
假设田中是第三名，且分数为72，冈部有2个分数，森内有2个分数，不成立。
假设田中是第三名，且分数为12，冈部有8个分数，森内有7个分数，不成立
所以本题的标准答案为：
森内 98分第一名
冈部 90分第二名
田中 84分第三名

Answer 2

冈部说：我的分数是10的倍数，他可能的分数为10、20、30、40、50、60、70、80、90
田中说：我的分数是12的倍数。他可能的分数为12、24、36、48、60、72、84、96
森内说：我的分数是14的倍数。他可能的分数为14、28、42、56、70、84、98
如果田中是第一 分数是96 ，他就不能知道其他两人的分数，因为森内只要小于96分即可即为14、28、42、56、70、84 冈部亦相同可能为10、20、30、40、50、60、70、80、90
如田中为第二名也是 他不可能知道第三名的分数 因为只要第三名比他分数低即可 由此 田中是第三名 而且其他两人均比他高 那么田中只能是84分 则森内第一 98 冈部第二90分

Answer 3

结论：田中是第三名，分数为84分，冈部第二名90分，森内第一名98分。
分析过程：
冈部说：我的分数是10的倍数，他可能的分数为10、20、30、40、50、60、70、80、90
田中说：我的分数是12的倍数。他可能的分数为12、24、36、48、60、72、84、96
森内说：我的分数是14的倍数。他可能的分数为14、28、42、56、70、84、98
如果田中是第一名，则田中的分数不可能是12分，如果是24分，则他不能确定冈部是10分还是20分，同理不管田中是多少分都不能确定其他人的分数，所以田中不可能是第一名。
如果田中是第二名，如果田中的分数只能是12分，冈部的分数只能是10分，但是不能确定森内的分数是多少。同理不管田中是多少分，都不能确定其他二人的分数，所以田中不可能是第二名。
通过上述分析可以得出田中只能是第三名时才可能确定其他人的分数。因为田中是第三名，所以他的分数不可能是96分。如果是84分，因为三人的名次不可能并列，所以可以确定是冈部是是90分，森内是98分。其他分数均不能确定其他二人的分数。

Answer 4

冈部说：我的分数是10的倍数，他可能的分数为10、20、30、40、50、60、70、80、90
田中说：我的分数是12的倍数。他可能的分数为12、24、36、48、60、72、84、96
森内说：我的分数是14的倍数。他可能的分数为14、28、42、56、70、84、98
冈部\森内,都不说说明他俩都不是第一，那田中是第一 分数是96

Answer 5

冈部说：我的分数是10的倍数，他可能的分数为10、20、30、40、50、60、70、田中说：我的分数是12的倍数。他可能的分数为12、24、36、48、60、72、84、96
森内说：我的分数是14的倍数。他可能的分数为14、28、42、56、70、84、98
都不说明冈部/森内都不是第一，那田中是第一 分数是96